Debido a la necesidad de conocer los polos de un sistema en lazo cerrado, ya que determinarán las características básicas de la respuesta transitoria, se desarrolla el método del lugar geométrico de las Raíces (también denominado Lugar de Evans). Este método permite ubicar en un gráfico los polos de un sistema en lazo cerrado a partir del conocimiento de los polos en lazo abierto, en función de un parámetro variable. Para ello considérese la ecuación característica de un sistema en lazo cerrado:

1 + Gc(s)G(s)H(s) = 0 ⇒ 1 + GLA(s) = 0 ⇒ GLA(s) = -1

La resolución de esta ecuación implica la verificación de dos condiciones:

  • Condición de ángulo: fase{GLA(s) } = ± 180º (2λ + 1); λ ∈ N
  • Condición de módulo: |GLA(s)| = 1

Debe observarse que, de este modo, se pasa del estudio del sistema en lazo cerrado al estudio de características del sistema en lazo abierto, lo cual debe permitir mayor facilidad en el cálculo.
Se define el lugar geométrico de las raíces como el conjunto de puntos del plano S en los que se verifica la condición de ángulo.
En conclusión, un punto que pertenece al lugar geométrico de las raíces es un posible polo del sistema en lazo cerrado; para ello únicamente es necesario validar la condición de módulo, y ésta se cumplirá para un valor determinado de la ganancia del sistema en lazo abierto. Sin embargo, un punto del plano S que no pertenezca al L.G.R. no puede ser polo en lazo cerrado porque no verifica la condición de ángulo, aunque varíe la ganancia del sistema en lazo abierto. De este modo, variando el parámetro k, donde:
1.1.png
se logra trazar el lugar geométrico de las raíces que proporcionan llos valores de los polos en lazo cerrado en función de k.

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