Dado que los polos y ceros complejos de la función de transferencia en lazo abierto tienen asociados sus complejo-conjugados, el L.G.R. será simétrico respecto al eje real.

1. Trazar el diagrama polos-ceros en lazo abierto.

Ecuación característica:
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donde: s = - zi son ceros y s = - pi son polos en lazo abierto.

2. Puntos de inicio y final del L.G.R.

El trazado del lugar geométrico de las raíces se inicia en los polos en lazo abierto y finaliza en los ceros en lazo abierto (en este caso, deben considerarse los ceros infinitos). Puede demostrarse esta sentencia resolviendo:
a) Inicio en polos en lazo abierto:
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para que la expresión anterior sea cierta es necesario que s → −pi.
En conclusión, los polos en lazo cerrado coinciden con los polos en lazo abierto cuando k = 0. Debe indicarse que, lógicamente, este efecto es relevante únicamente a nivel analítico, dado que no es posible tener k = 0 a nivel real.
b) Final en ceros en lazo abierto:
2.3.png

Para que la expresión anterior sea cierta es necesario que s → −zi ó s → (en el caso para el cual el grado del denominador sea mayor que el grado del numerador).
En conclusión, los polos en lazo cerrado coinciden con los ceros en lazo abierto cuando k→. Así el lugar geométrico puede tener ramas que finalicen en infinito; ahora bien, dado que el sistema es causal nunca puede iniciarse el L.G.R. en infinito.
El L.G.R. se origina en los polos en lazo abierto y finaliza en los ceros en lazo abierto (finitos e infinitos). El número de ramas del lugar geométrico indica el número de polos en lazo cerrado y coincide con el número de polos en lazo abierto y el número de ceros en lazo abierto (finitos e infinitos).

3. Lugar geométrico de las raíces sobre el eje real.

Los polos y ceros complejo-conjugados no afectan en la evaluación del LGR sobre el eje real, dado que en su contribución suman múltiplos de 360º. Observando, únicamente, los polos y ceros en lazo abierto sobre el eje real, puede aplicarse la siguiente consideración: un punto del eje real pertenece al L.G.R. cuando el número de total de polos y ceros a su derecha es impar (la suma angular total será un múltiplo de 180º).
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4. Asíntotas del L.G.R.

El estudio asintótico se realiza para |s| →∞. En ese caso, las contribuciones angulares por parte de todas las raíces son prácticamente iguales, y existe un efecto de cancelación de contribución angular entre polos y ceros. De este modo, la expresión de los ángulos de las asíntotas vendrá dada por:
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donde: n y m son los grados de denominador y numerador de la función de transferencia en lazo abierto, respectivamente, y λ es un número natural.
2.6.png
Para demostrar esta expresión debe considerarse la ecuación característica: Gc(s)G(s)H(s) = -1 ⇒ GLA(s) = -1
2.7.png
Recordando la condición de ángulo:
2.8.png 2.9.png
Así, si por ejemplo: n - m = 3;
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El punto de intersección de las asíntotas con el eje real, necesario para poder realizar el trazado de las asíntotas, viene dado por la expresión:
2.11.png
La representación de la ubicación de las asíntotas es la siguiente:
2.12.png
Debe observarse que en el caso de n - m = 1, esto es, poseer únicamente una asíntota, no debe calcularse el punto de intersección, dado que todo el eje real constituye la propia asíntota.

5. Puntos de ruptura.

Por definición, un punto de ruptura en el L.G.R. corresponde a una raíz múltiple de la ecuación característica, esto es, un punto de ruptura implica un polo en lazo cerrado múltiple. Debe resaltarse que los puntos de ruptura pueden ser reales o complejo conjugados. Los puntos de ruptura pueden dividirse en puntos de ruptura de dispersión (en los cuales el valor de k alcanza un máximo relativo) y puntos de ruptura de confluencia (para los cuales k alcanza un mínimo relativo).
Para determinar el procedimiento de cálculo de puntos de ruptura, se realiza la evaluación de k cuando aparece un punto de ruptura sobre el eje real, diferenciándose los casos:
a) L.G.R. sobre eje real entre dos polos. En este caso, el punto de ruptura aparece cuando k alcanza un máximo relativo, determinándose según la expresión:
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Las soluciones de la ecuación anterior son puntos de ruptura si pertenecen al L.G.R. y la k asociada es real y positiva. Obviamente, las soluciones de la ecuación anterior pueden proporcionar puntos de ruptura complejo conjugados.
b) L.G.R. sobre eje real entre dos ceros. En este caso, el punto de ruptura aparece cuando k alcanza un mínimo relativo, determinándose análogamente al caso anterior.
c) L.G.R. sobre eje real entre cero y polo. En este caso, existe la posibilidad de que no aparezcan puntos de ruptura, o bien, que existan en pares de dispersión y confluencia.
2.14.png2.15.png2.16.png

6. Puntos de cruce del L.G.R. con el eje imaginario.

Se presentan dos métodos para esta determinación:
a) Sustituir s = jω en la ecuación característica, igualando parte real e imaginaria a cero.
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b) Aplicando el algoritmo de Routh, anulando una fila de coeficientes.
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7. Ángulos de arranque y llegada.

Los ángulos de arranque del L.G.R. de los polos en lazo abierto y los ángulos de llegada del L.G.R. a los ceros en lazo abierto se determinan a partir de la distribución del diagrama polos-ceros en lazo abierto. Para ello, se presupone un punto perteneciente al L.G.R. suficientemente cercano a la singularidad sobre la que se quiere determinar el ángulo de partida o llegada como para poder considerarlo en la misma posición que la propia singularidad; de este modo, al aplicar la condición de ángulo todas las contribuciones angulares serán conocidas exceptuando el ángulo de arranque o llegada incógnita.
2.19.png


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